Biết rằng parabol (P): y = (m – 1)x^2 và đường thẳng (d): y = mx – 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tính tích các hoành độ giao điểm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

(m – 1)x² = mx – 1 hay (m – 1)x² – mx + 1 = 0 (1).

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra m – 1 \(\neq\) 0 và \(\Delta\) > 0 nên m \(\neq\) 1 và (m – 2)² > 0. Suy ra m \(\neq\) 1 và m \(\neq\) 2.

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

\({{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) + \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}^2}} }}{{2\left( {{\rm{m}} - 1} \right)}} = {\rm{m}} - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - {\rm{m}}} \right) - \sqrt {{{\left( {{\rm{m}} - 2} \right)}^2}} }}{{2\left( {{\rm{m}} - 1} \right)}} = \frac{1}{{{\rm{m}} - 1}}{\rm{.}}\)

Do đó, \({{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{{\rm{m}} - 1}}{{{\rm{m}} - 1}} = {\rm{1}}{\rm{.}}\)

Vậy tích các hoành độ bằng 1.