Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình: x + y − 4 ≤ 0; x − y + 4 ≥ 0; y ≥ 0; y − a/b ≤ 0 với a, b ∈ N* và a/b tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng 80/9. Tính tổng a + b.

22/22

Biết rằng miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\\{y - \frac{a}{b} \le 0}\end{array}} \right.\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản là một miền tứ giác có diện tích bằng \(\frac{{80}}{9}\). Tính tổng \(a + b\).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 4 \le 0}\\{x - y + 4 \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}\,\,\left( 1 \right)} \right.\).

Đáp số: 57 Do hai tàu cùng đến đảo mộ (ảnh 1)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là miền trong của tam giác \(ABC\) (kể cả bờ) trong đó \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( { - 4;0} \right)\) và \(C\left( {4;0} \right)\), và tam giác \(ABC\) có diện tích là \(16\).

Để miền nghiệm của hệ bất phương trình ban đầu là một miền tứ giác thì đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) phải cắt hai cạnh \(AB\) và \(AC\), tức là \(0 < y = \frac{a}{b} < 4\).

Đáp số: 57 Do hai tàu cùng đến đảo mộ (ảnh 2)

Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình được là hình thang \(BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}\) (với \(B{\rm{'}},C{\rm{'}}\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(y = \frac{a}{b}\) với \(AB\) và \(AC\)).

Đặt \(k\) là tỉ số đồng dạng giữa tam giác \(AB{\rm{'}}C{\rm{'}}\) và tam giác \(ABC\).

Khi đó: \({S_{BCC{\rm{'}}B{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {S_{AB{\rm{'}}C{\rm{'}}}} = {S_{ABC}} - {k^2}{S_{ABC}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{80}}{9} = 16 - 16{k^2} \Rightarrow 16{k^2} = 16 - \frac{{80}}{9} = \frac{{64}}{9} \Rightarrow {k^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow k = \frac{2}{3}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\), suy ra khoảng cách từ \(A\) đến \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) là \(AH\), và khoảng cách từ \(A\) đến \(BC\) là \(AO = 4\).

Ta có: \(\frac{{AH}}{{AO}} = k = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{AO - OH}}{{AO}} = 1 - \frac{{OH}}{{AO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{OH}}{{AO}} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow OH = \frac{1}{3}AO = \frac{4}{3}\).

Vì đường thẳng \(B{\rm{'}}C{\rm{'}}\) có phương trình \(y = \frac{a}{b}\) nên khoảng cách từ nó đến trục hoành chính là \(OH = \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\).

Do \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\frac{4}{3}\) là phân số tối giản nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 3}\end{array}} \right.\).

Vậy \(a + b = 4 + 3 = 7\).