Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 2 căn bậc hai 2 và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ của điểm I

17/35

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}\). Biết rằng mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \) và cắt mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] theo một đường tròn có bán kính bằng \(2\). Tìm tọa độ của điểm \(I.\)

\[I\left( {1; - 2;2} \right),{\rm{ }}I\left( { - 1;2; - 2} \right)\].

\[I\left( {1; - 2;2} \right),{\rm{ }}I\left( {5;2;10} \right)\].

\[I\left( {1; - 2;2} \right),{\rm{ }}I\left( {0; - 3;0} \right)\].

\[I\left( {5;2;10} \right),{\rm{ }}I\left( {0; - 3;0} \right)\].

Giải thích

Lời giải

Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 2 căn bậc hai 2 và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tọa độ của điểm I (ảnh 1)

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right):y = 0\). Ta có \(I \in \Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2} \Rightarrow I\left( {t; - 3 + t;2t} \right)\).

Gọi \[H\] là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\); \(R,{\rm{ }}r\) lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến. Theo bài ta có \(IH = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {8 - 4} = 2\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 3 + t} \right|}}{1} = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = 5}\end{array}} \right.\).

Với \(t = 1 \Rightarrow I\left( {1; - 2;2} \right)\), với \(t = 5 \Rightarrow I\left( {5;2;10} \right)\). Chọn B.