Biết rằng mặt cắt của bục song song với hai đáy tại vị trí có kích thước hình vuông bé nhất bằng 0,5 m. Tìm thể tích của cái bục đã cho theo đơn vị mét khối và làm tròn kết quả đến hàng phần
32/35
Một cái bục bằng gỗ dùng để đặt đồ trang trí có mặt đáy trên và mặt đáy dưới đều là hình vuông, người thợ thiết kế cái bục này theo ba phần:
Phần trên cùng là một hình hộp chữ nhật có các kích thước là 1 m; 1 m; 0,05 m.
Phần đế của bục cũng là hình hộp chữ nhật có các kích thước là \(\sqrt 2 \,\,{\rm{m}}\,;\,\,\sqrt 2 \,\,{\rm{m}}\,;\,\,0,2\,\,{\rm{m}}\).
Phần thân (giữa) của bục có mặt cắt theo hai đường chéo của đáy trên và đáy dưới là đường hypebol mà các đường tiệm cận của hypebol này tạo với trục đứng một góc bằng \(30^\circ \).
Biết rằng mặt cắt của bục song song với hai đáy tại vị trí có kích thước hình vuông bé nhất bằng 0,5 m. Tìm thể tích của cái bục đã cho theo đơn vị mét khối và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc hypebol \(\left( H \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > 0\,,\,\,b > 0} \right)\).
Đường chéo hình vuông nhỏ nhất là \(2a = 0,5\sqrt 2 \Rightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Ta có \(\tan 30^\circ = \frac{a}{b} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}}{b} \Rightarrow b = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\). Do vậy \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{\frac{1}{8}}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{3}{8}}} = 1\) hay \(8{x^2} = 1 + \frac{{8{y^2}}}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{1}{8} + \frac{{{y^2}}}{3}} \).
Xét mặt cắt vuông góc với Oy của cái bục tại vị trí có hoành độ \(x > 0\) thì ta thu được hình vuông có cạnh \(\frac{{2x}}{{\sqrt 2 }} = x\sqrt 2 = \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{{2{y^2}}}{3}} \).
Với \(x = \frac{{1 \cdot \sqrt 2 }}{2}\) (xét hình vuông mặt trên cùng của cái bục); ta có \(y = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} > 0\).
Với \(x = \frac{{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }}{2} = 1\) (xét hình vuông mặt đáy dưới của cái bục); ta có \(y = - \frac{{\sqrt {42} }}{4} < 0\).
Thể tích cái bục là \(V = 1 \cdot 1 \cdot 0,05 + \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 \cdot 0,2 + \int\limits_{\frac{{ - \sqrt {42} }}{4}}^{\frac{{3\sqrt 2 }}{4}} {\left( {\frac{1}{4} + \frac{{2{y^2}}}{3}} \right){\rm{d}}y} \approx 2,33\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
Đáp án: 2,33.