Biết rằng l i m x → 0 căn bậc 2023 √ 2024 x + 1 − 1 / x = a b với a , b ∈ Z , b > 0 , ( a , b ) = 1 . Giá trị của a + b bằng (1) ______.

Đáp án

Biết rằng \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[{2023}]{{2024x + 1}} - 1}}{x} = \frac{a}{b}\] với \(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\left( {a,b} \right) = 1\). Giá trị của \(a + b\) bằng (1) __4047__.

Giải thích

Đặt \(t = \sqrt[{2023}]{{2024x + 1}}\) suy ra \(x = \frac{{{t^{2023}} - 1}}{{2024}}\). Khi \(x \to 0\) thì \(t \to 1\). Do đó

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[{2023}]{{2024x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 1} \frac{{t - 1}}{{\frac{{{t^{2023 - 1}}}}{{2024}}}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 1} \frac{{2024\left( {t - 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {{t^{2022}} + {t^{2021}} +  \ldots  + t + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 1} \frac{{2024}}{{{t^{2022}} + {t^{2021}} +  \ldots  + t + 1}} = \frac{{2024}}{{2023}}\)