Biết rằng hàm số y = ( {x - m} )( {x - 1} ( {x + m - 2})

28/235

Biết rằng hàm số \(y = \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + m - 2} \right)\) (\(m\) là tham số khác 1) có hai điểm cực trị. Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số này bằng

\({\left( {\frac{{m + 1}}{2}} \right)^3}\).

\({\left( {\frac{m}{2} + 1} \right)^3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định cực trị hàm số

Lời giải

Ta có: \(y = {x^3} - 3{x^2} + x\left( { - {m^2} + 2m + 2} \right) + {m^2} - 2m\).

Khi đó: \(y' = 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2m + 2\).

Hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow {\rm{\Delta }} = 9 - 3\left( { - {m^2} + 2m + 2} \right) = 3{m^2} - 6m + 3 = 3{(m - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

Theo Viet ta có: \({x_1} + {x_2} = 2\)

Thực hiện phép chia \(y\) cho \(y'\) ta được:

\(y = \frac{1}{3}\left( {x - 1} \right)y' + \frac{1}{3}\left( { - 2{m^2} + 4m - 2} \right)x + \frac{1}{3}\left( {2{m^2} - 4m + 2} \right)\).

Khi đó: \({y_1} = \frac{1}{3}\left( { - 2{m^2} + 4m - 2} \right){x_1} + \frac{1}{3}\left( {2{m^2} - 4m + 2} \right)\).

và \({y_2} = \frac{1}{3}\left( { - 2{m^2} + 4m - 2} \right){x_2} + \frac{1}{3}\left( {2{m^2} - 4m + 2} \right)\).

Vậy tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số này là:

\({y_1} + {y_2} = \frac{1}{3}\left( { - 2{m^2} + 4m - 2} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{2}{3}\left( {2{m^2} - 4m + 2} \right) = - \frac{2}{3}\left( {2{m^2} - 4m + 2} \right) + \frac{2}{3}\left( {2{m^2} - 4m + 2} \right) = 0\)