Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (mx + 5)/(x - m) trên đoạn [[0;1]] bằng - 7. Khẳng định nào sau đây đúng?

Điều kiện xác định của hàm số là \(x \ne m\). Để hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thì giá trị \(m\) không được thuộc vào đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) (tức là \(m \notin \left[ {0;1} \right]\)).

Đạo hàm của hàm số trên các khoảng xác định là: \(f'\left( x \right) = \frac{{ - {m^2} - 5}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

Vì \( - {m^2} - 5 < 0\) với mọi số thực \(m\), nên \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \ne m\).

Do đó, hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Vì hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này sẽ đạt tại điểm \(x = 1\):

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{{m \cdot 1 + 5}}{{1 - m}} = \frac{{m + 5}}{{1 - m}}\).

Theo giả thiết, giá trị nhỏ nhất này bằng \( - 7\):

\(\frac{{m + 5}}{{1 - m}} = - 7 \Leftrightarrow m + 5 = - 7\left( {1 - m} \right) \Leftrightarrow m + 5 = - 7 + 7m \Leftrightarrow 6m = 12 \Leftrightarrow m = 2\).

Kiểm tra điều kiện: \(m = 2 \notin \left[ {0;1} \right]\) (thỏa mãn điều kiện hàm số liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\)).

Đáp án đúng: C