Biết rằng đường thẳng (d): y = x + m và parabol (P): y = 2x2 cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 2(x1 + x2) = –x1x2, khi đó:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2x² = x + m, suy ra 2x² – x – m = 0 (1).

Vậy số nghiệm của phương trình 2x² – x – m = 0 là số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

b) Sai.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra \(\Delta\) = (–1)² – 4.2.(–m) = 1 + 8m > 0 nên \({\rm{m}} > \frac{{ - 1}}{8}\;\,\left( * \right).\)

Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂ với \({\rm{m}} > \frac{{ - 1}}{8}.\)

c) Đúng.

Phương trình (1) có \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2};\;{{\rm{x}}_1}{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - {\rm{m}}}}{2}\) (định lý Viète).

Theo đề bài ta có: 2(x₁ + x₂) = –x₁x₂ nên \(2 \cdot \frac{1}{2} = - \frac{{ - {\rm{m}}}}{2}\) nên m = 2 (thỏa mãn (*)).

Vậy m = 2.

d) Sai.

Với m = 2 ta có: (d): y = x + 2.

Thay x = 1 vào (d) ta có: y = 1 + 2 = 3 ≠ 2.

Vậy đường thẳng (d) không đi qua điểm B(1; 2).