Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C=x^2 +y^2 +xy

Cách 1:

Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x, y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x=y. Do đó, ta biến đổi như bên dưới.

Ta có: C=x2+y2+xy=ax+y2+bx−y2=a+bx2+y2+2a−bxy.

Suy ra a+b=1a−b=12⇔a=34b=14.

Hay ta có: C=34x+y2+14x−y2=34.1+14x−y2≥34

Dấu “=” xảy ra khi x=yx+y=1⇔x=y=12.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là minC=34 khi x=y=12.

Cách 2:

Do x+y=1⇒y=1−x. Khi đó, ta có:

C=x2+y2+xy=x2+1−x2+x1−x=x2−x+1=x−122+34≥34.

Dấu “=” xảy ra khi x=12x+y=1⇔x=y=12.

Vậy, minC=34 khi x=y=12.