Biết rằng 3x + 2/ ( x-1 ) ( x-2 ) dx = m ln 3 + n ln 2 , m ,n thuộc Z

Phương pháp giải

Biến đổi hàm số về \(\frac{{3x + 2}}{{(x - 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x - 2}}\) và tính tích phân cơ bản.

Giải chi tiết

Đặt\[\begin{array}{l}\frac{{3x + 2}}{{(x - 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x - 2}}.\\ \Rightarrow 3x + 2 = A(x - 2) + B(x - 1) = (A + B)x - 2A - B.\end{array}\]

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A + B = 3,}\\{2A + B = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = - 5,}\\{B = 8.}\end{array}} \right.\)

Do đó \(\frac{{3x + 2}}{{(x - 1)(x - 2)}} = \frac{8}{{x - 2}} - \frac{5}{{x - 1}}.\)

Ta có \(\int_3^4 {\frac{{3x + 2}}{{(x - 1)(x - 2)}}} {\mkern 1mu} dx = \left( {8\ln |x - 2| - 5\ln |x - 1|} \right)|_3^4 = 8\ln 2 - 5\ln 3 + 5\ln 2 - 8\ln 1 = - 5\ln 3 + 13\ln 2.\)

Suy ra m=-5, n=13.

Vậy m+n+2025=2033.

Đáp án cần chọn là: B