Biết rằng (2 + x)100 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a100x100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak Iớn nhất?

+) Ta có:

Số hạng chứa xk trong khai triển của (2 + x)100 hay (x +2)100 là

 C100100−kxk2100−k=C100k2100−kxk=2100C100k2kxk.

Vậy hệ số của xk trong khai triển của (x + 2)100 là 2100C100k2k⇒ak=2100C100k2k.

+) Giải bất phương trình: ak ≤ ak + 1 (1).

1⇔2100C100k2k≤2100C100k+12k+1⇔C100k2k≤C100k+12k+1⇔C100kC100k+1≤2k2k+1

⇔100!k!100−k!100!k+1!100−k−1!≤12⇔k+1!100−k−1!k!100−k!≤12⇔k+1100−k≤12

⇔2k+1≤100−k⇔3k≤98⇔k≤32 (vì k là số tự nhiên).

+) Vì ak ≤ ak + 1⇔k≤32 nên ak ≥ ak + 1 ⇔k≥32.

Do đó a1≤a2≤...≤a32≤a33≥a34≥a35≥...≥a100.

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a33 là giá trị lớn nhất trong các ak.