Biết rằng 1/( cos ^2 x − sin^ 2 x) + 2 tan x /(1 − tan^2 x )= cos ( ax )/( b − sin ( a x )) ( a , b ∈ R ) . Tính giá trị của biểu thức P = a + b.

22/95

Biết rằng \(\frac{1}{{{{\cos }^2}{\rm{x}} - {{\sin }^2}{\rm{x}}}} + \frac{{2\tan {\rm{x}}}}{{1 - {{\tan }^2}{\rm{x}}}} = \frac{{\cos \left( {{\rm{ax}}} \right)}}{{{\rm{b}} - \sin \left( {{\rm{ax}}} \right)}}\;\,\left( {{\rm{a}},\;\,{\rm{b}} \in \mathbb{R}} \right)\). Tính giá trị của biểu thức P = a + b.

P = 4.

P = 1.

P = 2.

P = 3.

Giải thích

Lời giải:

Chọn D.

\(\frac{1}{{{{\cos }^2}{\rm{x}} - {{\sin }^2}{\rm{x}}}} + \frac{{2\tan {\rm{x}}}}{{1 - {{\tan }^2}{\rm{x}}}}\)

\( = \frac{1}{{\cos 2{\rm{x}}}} + \tan 2{\rm{x}}\)

\( = \frac{1}{{\cos 2{\rm{x}}}} + \frac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\cos 2{\rm{x}}}}\)

\( = \frac{{1 + \sin 2{\rm{x}}}}{{\cos 2{\rm{x}}}}\)

\( = \frac{{\left( {1 + \sin 2{\rm{x}}} \right)\cos 2{\rm{x}}}}{{{{\cos }^2}2{\rm{x}}}}\)

\( = \frac{{\left( {1 + \sin 2{\rm{x}}} \right)\cos 2{\rm{x}}}}{{1 - {{\sin }^2}2{\rm{x}}}}\)

\( = \frac{{\left( {1 + \sin 2{\rm{x}}} \right)\cos 2{\rm{x}}}}{{\left( {1 + \sin 2{\rm{x}}} \right)\left( {1 - \sin 2{\rm{x}}} \right)}}\)

\( = \frac{{\cos 2{\rm{x}}}}{{1 - \sin 2{\rm{x}}}}\).

Do đó, a = 2, b = 1. Vậy P = a + b = 3.