Biết pi/4 ∫ pi/6 ( 2 cot^2 x + 5 ) dx = pi/ a + b √ 3 + c ( a , b , c ∈ Z ) . Khi đó giá trị của P = a + b + c là

8/22

Biết \[\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \frac{\pi }{a} + b\sqrt 3 + c\] \(\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,c \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi đó giá trị của \(P = a + b + c\) là

\(P = 6\).

\(P = - 4\).

\(P = 4\).

\(P = - 6\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

\(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right) + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3 + \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx = \left. {\left( {3x - 2\cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + 2\sqrt 3 - 2} \).

Suy ra \(a = 4;b = 2;c = - 2\). Do đó \(a + b + c = 4\).