Biết pi/ 4 ∫ pi/6 ( 2 cot 2 x + 5 ) d x = pi/a + b √ 3 + c ( a , b , c ∈ Z ) . Tính giá trị của P = a + b + c

27/50

Biết \[\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \frac{\pi }{a} + b\sqrt 3 + c\] \(\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,c \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính giá trị của \(P = a + b + c\) (nhập đáp án vào ô trống).

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right) + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3 + \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {3x - 2\cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + 2\sqrt 3 - 2\). Suy ra \(a = 4,b = 2,c = - 2\). Vậy \(P = 4\).

Đáp án cần nhập là: 4.