Biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= | {{x^3} - 2x - 5} |

10/235

Biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 2x - 5} \right|\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) là \(y = ax + b\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T\left( m \right) = {m^2} + am + b\).

\(\frac{{27}}{4}\).

\(\frac{{ - 27}}{4}\).

\(\frac{{29}}{4}\).

\(\frac{{ - 29}}{4}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính đạo hàm, viết phương trình tiếp tuyến.

Lời giải

Tại \({x_0} = 1\), có \(x_0^3 - 2{x_0} - 5 = 1 - 2 - 5 = - 6 < 0\), khi đó ta sẽ xét hàm số \(g\left( x \right) = - {x^3} + 2x + 5\).

Có \(g\left( 1 \right) = 6;g'\left( x \right) = - 3{x^2} + 2;g'\left( 1 \right) = - 1\), khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm \({x_0} = 1\) là: \(y = - 1\left( {x - 1} \right) + 6 = - x + 7 \Rightarrow a = - 1;b = 7\).

Khi đó, \(T\left( m \right) = {m^2} - m + 7 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{27}}{4} \ge \frac{{27}}{4}\). Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \(T\left( m \right)\) là \(\frac{{27}}{4}\) khi \(m = \frac{1}{2}\).