Biết phương trình đường thẳng BC:x - y + 1 = 0, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC là R = căn bậc hai 10 . Tìm tọa độ trực tâm H.

Lời giải

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AI\) với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Delta ABC.\)

Ta có\(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\EC \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BH{\rm{//}}EC;\,\,\left\{ \begin{array}{l}CH \bot AB\\EB \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CH{\rm{//}}EB\).

Suy ra tứ giác \(HCEB\) là hình bình hành \( \Rightarrow \Delta HBC = \Delta EBC\)\[ \Rightarrow \] bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EBC\) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BHC\).

Khi đó:

Phương trình đường trung trực \(BC:x + y = 3\).

Tọa độ trung điểm \(M\) của \(BC\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{x - y = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( {1;2} \right).\)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 10\).

Phương trình đường thẳng \(AH:\)\(x + y = 1.\)   

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} = 10}\\{x + y = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {1;\,0} \right)\\A\left( { - 3;\,4} \right)\end{array} \right.\].

+) Với \(A\left( {1;0} \right) \Rightarrow E\left( { - 1;\,6} \right)\) (Do \(I\left( {0;3} \right)\) là trung điểm \(AE\))

Suy ra (Do \(M\left( {1;2} \right)\) là trung điểm của \[EH\]).

+) Tương tự: Với . Chọn A.

Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho tam giác \(ABC\) nhọn thì điểm \(H\left( {3; - 2} \right)\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán, do \(d\left( {H,\,BC} \right) = \frac{6}{{\sqrt 2 }} > \frac{2}{{\sqrt 2 }} = d\left( {A,BC} \right)\).