Biết phương trình bậc hai x^2 − 19x + 9 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Không giải phương trình, tìm tất cả giá trị của m thỏa mãn m căn bậc hai của x1 = 9 | 1/x1 + 1/x2 | − m căn bậc hai của x2.

Phương trình bậc hai \[{x^2} - 19x + 9 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\].

Theo định lý Viète ta có \[{x_1} + {x_2} = 19\] và \[{x_1}.{x_2} = 9\] suy ra \[{x_1} > 0{\rm{ }},{x_2} > 0{\rm{ }}\]

Ta có \[m\sqrt {{x_1}}  = 9\left| {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right| - m\sqrt {{x_2}} \]

\[m\sqrt {{x_1}}  + m\sqrt {{x_2}}  = 9\left| {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right|\]

\[m\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right) = 9\left| {\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}} \right|\]

\[m\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right) = 9\left| {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}} \right|\]

Hay \[m\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right) = 9\left| {\frac{{19}}{9}} \right| = 19\,\,\,\left( 1 \right)\]

Xét \[{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = {x_1} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}}  + {x_2} = 19 + 2\sqrt 9  = 25\]

Suy ra \[\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}  = 5\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] suy ra \[m.5 = 19 \Rightarrow m = \frac{{19}}{5}\]