Biết phương trình 4^x − 9 ⋅ 2^x + 16 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tính giá trị của biểu thức A = x1 + x2 .

Đáp án đúng là: A

Ta có \({4^x} - 9 \cdot {2^x} + 16 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 9 \cdot {2^x} + 16 = 0\) (*).

Đặt \({2^x} = t\,\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó (*) \( \Leftrightarrow {t^2} - 9t + 16 = 0\) (**).

Vì phương trình \({4^x} - 9 \cdot {2^x} + 16 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) nên (**) phải có 2 nghiệm phân biệt \({t_1},\,{t_2}\) dương.

Theo Vi-ét ta có \({t_1} \cdot {t_2} = \frac{c}{a} = 16\).

Không mất tính tổng quát, giả sử \({2^{{x_1}}} = {t_1},\,\,{2^{{x_2}}} = {t_2}\), khi đó ta có \({x_1} = {\log _2}{t_1},\,{x_2} = {\log _2}{t_2}\).

Ta có \(A = {x_1} + {x_2} = {\log _2}{t_1} + {\log _2}{t_2} = {\log _2}\left( {{t_1} \cdot {t_2}} \right) = {\log _2}16 = 4\).