Biết lim x^2+(2a-1)x+b/x^3+1=2

Đáp án

Biết \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + \left( {2a - 1} \right)x + b}}{{{x^3} + 1}} = 2\]. Giá trị của a = (1) ___9/2___ và b = (2) ___7___  với \(a,b\) là các phân số tối giản (nếu có).

Giải thích

Vì \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + \left( {2a - 1} \right)x + b}}{{{x^3} + 1}} = 2\] nên \(x =  - 1\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + \left( {2a - 1} \right)x + b = 0\).

\( \Leftrightarrow {( - 1)^2} - \left( {2a - 1} \right) + b = 0 \Leftrightarrow b = 2a - 2\).

Khi đó, \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + \left( {2a - 1} \right)x + b}}{{{x^3} + 1}} = 2 \Leftrightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + \left( {2a - 1} \right)x + 2a - 2}}{{{x^3} + 1}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2a - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - 1} \frac{{x + 2a - 2}}{{{x^2} - x + 1}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 1 + 2a - 2}}{{{{( - 1)}^2} - \left( { - 1} \right) + 1}} = 2 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}\)

\( \Rightarrow b = 2.\frac{9}{2} - 2 = 7\)