Biết lim x → 0 (3 √ 1 + x^2 − 1)/x^2 = a/b ( a b là phân số tối giản a ∈ Z , b ∈ N ∗ ). Tính giá trị của biểu thức S = a^2 + b .

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + {x^2}}} - 1}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + {x^2}}} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(a = 1;b = 3\). Do đó \(S = 4\).

Trả lời: 4.