Biết lim n → + ∞ ( √ 9n^2 + 5n + 4 − 3 √ 27 n^3 + 4n^2 + 9n + 8 ) = a b , với a , b > 0 ; ( a , b ) = 1 . Khi đó, giá trị của biểu thức S = a b bằng

18/50

Biết $lim_{n \to + \infty} (\sqrt{9 n^{2} + 5 n + 4} - \sqrt[3]{27 n^{3} + 4 n^{2} + 9 n + 8}) = \frac{a}{b}$ , với $a,b > 0;\left( {a,b} \right) = 1$. Khi đó, giá trị của biểu thức $S = ab$ bằng (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có:

$lim_{n \to + \infty} (\sqrt{9 n^{2} + 5 n + 4} - \sqrt[3]{27 n^{3} + 4 n^{2} + 9 n + 8})$

$= lim_{n \to + \infty} (\sqrt{9 n^{2} + 5 n + 4} - 3 n - \sqrt[3]{27 n^{3} + 4 n^{2} + 9 n + 8} + 3 n)$

$ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{9{n^2} + 5n + 4 - {{\left( {3n} \right)}^2}}}{{\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} + 3n}} - \frac{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8 - {{\left( {3n} \right)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}}} \right)}^2} + 3n \cdot \sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} + {{\left( {3n} \right)}^2}}}} \right)$$ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{5n + 4}}{{n\left( {\sqrt {9 + \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} + 3} \right)}} - \frac{{4{n^2} + 9n + 8}}{{{n^2}\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{27 + \frac{4}{n} + \frac{9}{{{n^2}}} + \frac{8}{{{n^3}}}}}} \right)}^2} + 3 \cdot \sqrt[3]{{27 + \frac{4}{n} + \frac{9}{{{n^2}}} + \frac{8}{{{n^3}}}}} + 9} \right]}}} \right)$

$ = \frac{5}{{3 + 3}} - \frac{4}{{3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3}} = \frac{{37}}{{54}}$.

Như vậy $a = 37,b = 54 \Rightarrow S = ab = 1998$.

Đáp án cần nhập là: $1998$.