Biết lim khi n → dương vô cùng của (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)/n^3 = a/b (với a, b là số nguyên dương và phân số a/b tối giản). Tính giá trị của biểu thức b − a.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Sử dụng công thức tổng các bình phương:

1² + 2² + … + n² = \(\frac{{n\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {2n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)}}{6} = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}\).

⇒ \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6}} \right)}}{{{n^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{{6{n^3}}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Do \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3}\) tối giản nên a = 1, b = 3. Suy ra b - a = 3 - 1 = 2.