Biết lim căn {3x + 1} - 1 / x} = a/b

34/39

Biết \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 1}}{x} = \frac{a}{b}\], trong đó \(a\), \[I = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {{{\tan }^5}x{\rm{d}}x = } } \int {\frac{{{{\sin }^5}x}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^5}x}}{\rm{d}}x} \] là các số nguyên dương và phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\).

\(P = 40\).

\(P = 5\).

\(P = 0\).

\(P = 13\).

Giải thích

Chọn D

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sqrt {3x + 1} - 1)(\sqrt {3x + 1} + 1)}}{{x(\sqrt {3x + 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x}}{{x(\sqrt {3x + 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{3}{{\sqrt {3x + 1} + 1}} = \frac{3}{2} = \frac{a}{b}\]

Vậy \(P = {a^2} + {b^2} = {3^2} + {2^2} = 13\)