Biết I = | x^2 - 5x + 6/ x +1 | dx = -5 - a ln 2 + b ln 3

Phương pháp giải:

Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối và tách tích phân.

Giải chi tiết:

Ta xét dấu của:

            \[{x^2} - 5x + \frac{6}{{x + 1}} = \frac{{{x^3} - 4{x^2} + x + 6}}{{x + 1}}.\]

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

           \[I = \int_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx + \int_3^5 f (x){\mkern 1mu} dx.\]

Nguyên hàm của \(f(x)\) là:

                     \[\int f (x){\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 12\ln (x + 1).\]

Thay cận và rút gọn, ta được:

                                                       \[I = - 5 - 48\ln 2 + 36\ln 3.\]

Suy ra:

                                     \[a = 48,\quad b = 36 \Rightarrow \gcd (a,b) = 12.\]