Biết I =tích phân x + x cos x - sin ^3 x / 1 + cos x dx = pi^2 / a - b /c

17/22

Biết \[I = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\frac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}}}{a} - \frac{b}{c}\]. Trong đó \[a\], \[b\], \[z + {\left| z \right|^2}.i - 1 - \frac{3}{4}i = 0\] là các số nguyên dương, phân số \[\frac{b}{c}\] tối giản. Tính \[T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\].

Giải thích

Ta có \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} \] \[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} \right){\rm{d}}x} \]

\[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}x} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)\sin x{\rm{d}}x} \]\[4\]\[ = \frac{{{\pi ^2}}}{8} - \frac{1}{2}\].

Như vậy \[a = 8\], \[b = 1\], \[c = 2\]. Vậy \[T = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 69\].