Biết I = tích phân 2 | x-2| + 1 / x dx = 4 + a ln 2 + b ln 5 với a , b thuộc Z

11/22

Biết \(I = \int\limits_1^5 {\frac{{2\left| {x - 2} \right| + 1}}{x}} {\rm{d}}x = 4 + a\ln 2 + b\ln 5\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(S = a + b\).

\(S = - 3\).

\(S = 5\).

\(S = 9\).

\(S = 11\).

Giải thích

Ta có \[\left| {x - 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 2.{\rm{ Khi }}x \ge 2\\2 - x.{\rm{ Khi }}x \le 2\end{array} \right.\].

Do đó \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{2\left| {x - 2} \right| + 1}}{x}} {\rm{ d}}x + \int\limits_2^5 {\frac{{2\left| {x - 2} \right| + 1}}{x}{\rm{ }}} {\rm{d}}x\).

\( = \int\limits_1^2 {\frac{{2\left( {2 - x} \right) + 1}}{x}} {\rm{ d}}x + \int\limits_2^5 {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 1}}{x}{\rm{ }}} {\rm{d}}x\).

\( = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{5}{x} - 2} \right)} {\rm{ d}}x + \int\limits_2^5 {\left( {2 - \frac{3}{x}} \right){\rm{ }}} {\rm{d}}x\).

\[ = \left( {5\ln x - 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array} + } \right.\left( {2x - 5\ln x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5\\2\end{array}} \right.\].

\[ = 4 + 8\ln 2 - 3\ln 5\].