Biết hàm số f ( x ) = 1/5 x^5 − x^4 + x^3 nghịch biến trên khoảng ( a ; b ) có độ dài bằng 2 . Tính giá trị biểu thức P = a . b .

Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} - {x^4} + {x^3}\] xác định và liên tục trên \[\mathbb{R}\].

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} - 4x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu của hàm số \[f'\left( x \right)\]như sau:

Suy ra hàm số \[f\left( x \right)\]nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\] có độ dài bằng \(2,\) nên ta có \[a = 1;b = 3 \Rightarrow P = 1.3 = 3.\]

Trả lời: 3.