Biết hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + c\] đạt giá trị nhỏ nhất là \(4\) tại \(x = 2\) và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6. Tính \(2a + b - 3c\;?\)

Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là \(6\) nên \(c = 6.\)

Mặt khác hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(4\) tại \(x = 2\) nên đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {2\,;\,4} \right)\). Do đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\4a + 2b + c = 4\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\4a + 2b =  - 2\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b =  - 2\\c = 6\end{array} \right.\) (nhận). Vậy \(2a + b - 3c =  - 19.\)