Biết giới hạn lim khi n → dương vô cùng của (a × 9^n + b × 5^n)/(3 × 2^n + 4^n) = 7 và a − b = 2 (với a, b là các tham số thực). Tính giá trị của biểu thức a + b.

25/25

Biết giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{a \cdot {9^n} + b \cdot {5^n}}}{{{3^{2n}} + {4^n}}}\) = 7 và a – b = 2 (với a, b là các tham số thực). Tính giá trị của biểu thức a + b.

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Biến đổi mẫu số: 3²ⁿ = (3²)ⁿ = 9ⁿ.

Biểu thức trở thành: \(\frac{{a \cdot {9^n} + b \cdot {5^n}}}{{{9^n} + {4^n}}}\)

Chia cả tử và mẫu cho 9ⁿ, ta được: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{a + b \cdot {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^n}}} = \frac{a}{1} = a\).

Theo giả thiết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)\(\frac{{a \cdot {9^n} + b \cdot {5^n}}}{{{3^{2n}} + {4^n}}} = 7\) ⇒ a = 7.

Ta lại có a – b = 2 ⇒ b = 5.

Vậy a + b = 7 + 5 = 12.