Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin4x + cos4x + sinxcosx bằng \(\frac{a}{b}\) với a, b ∈ ℕ, \(\frac{a}{b}\) là phần số tối giản. Tổng a + b bằng bao nhiêu?
Giải thích
Đáp án: 17.
Ta có: y = sin4x + cos4x + sinxcosx = (sin2x + cos2x)2 – 2(sinxcosx)2 + sinxcosx
= \(1 - 2 \cdot \frac{1}{4}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}\sin 2x = - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 1\).
Đặt sin2x = t, hàm số trở thành \( - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{1}{2}t + 1,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Đồ thị hàm số \( - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{1}{2}t + 1\) có dạng parabol bề lõm quay xuống nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t = \(\frac{1}{2}\). Ta có: y\(\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{9}{8}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\frac{9}{8}\). Do đó, a = 9, b = 8 => a + b = 9 + 8 = 17.