Biết F(x) là một họ nguyên hàm của 

Đáp án đúng là "9/4"

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm

Lời giải

Ta có:

\(F\left( x \right) = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{x}{{{{(x + 1)}^3}}}dx = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{x + 1 - 1}}{{{{(x + 1)}^3}}}dx = \mathop \smallint \nolimits^ \left( {\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} - \frac{1}{{{{(x + 1)}^3}}}} \right)dx =  - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}} + C\)

Mà \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow  - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\)

Khi đó: \(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{x + 1}} + \frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}} + 1 \Rightarrow F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = \frac{5}{8} + \frac{{13}}{8} = \frac{9}{4}\)