Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (e^(2x) – 1)/((e^x) + 1) và F(0) = 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

15/25

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}\) và F(0) = 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

F(x) = e^x − x.

F(x) = e^x − x + 2.

F(x) = e^x − x + 1.

F(x) = e^x + x + 1.

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy tử số là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta biến đổi hàm số:

f(x) = \(\frac{{\left( {{e^x} - 1} \right)\left( {{e^x} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}} = {e^x} - 1\).

Họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\left( {{e^x} - 1} \right)} dx = {e^x} - x + C\).

Dựa vào giả thiết F(0) = 2, thay x = 0 vào F(x):e⁰ − 0 + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.

Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = e^x − x + 1.