Biết F(x) = (ax^2 + bx + c)\ căn(2x - 3) là một nguyên hàm của hàm số

104/235

Biết \(F(x) = (a{x^2} + bx + c)\sqrt {2x - 3} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính P = abc.

Đáp án: ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của \(F(x) = (a{x^2} + bx + c)\sqrt {2x - 3} \) sau đó đồng nhất hai vế.

Giải chi tiết

\(F(x) = (a{x^2} + bx + c)\sqrt {2x - 3} \)

\( \Rightarrow F'(x) = (2ax + b)\sqrt {2x - 3} + (a{x^2} + bx + c) \cdot \frac{1}{{\sqrt {2x - 3} }}\)

\( = \frac{{(2ax + b)(2x - 3)}}{{\sqrt {2x - 3} }} + \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {2x - 3} }} = \frac{{5a{x^2} - (6a - 3b)x - 3b + c}}{{\sqrt {2x - 3} }}\)

\( \Rightarrow 5a{x^2} - (6a - 3b)x - 3b + c = 20{x^2} - 30x + 7\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5a = 20}\\{ - (6a - 3b) = - 30}\\{ - 3b + c = 7}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = - 2}\\{c = 1}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow P = abc = 4 \cdot ( - 2) \cdot 1 = - 8.\)