Biết F (x) và G (x ) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên

22/22

Biết \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m\), với \(m > 0\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = F\left( x \right)\), \(y = G\left( x \right)\); \(x = 0\) và \(x = 4\). Khi \(S = 8\) thì \(m\) bằng?

Giải thích

Theo đề ta có \[\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m \Rightarrow F\left( x \right)\left| {\mathop {}\limits_0^4 } \right. = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m\]

\[ \Rightarrow F\left( 4 \right) - F\left( 0 \right) = F\left( 4 \right) - G\left( 0 \right) + 2m \Rightarrow G\left( 0 \right) - F\left( 0 \right) = 2m\]. \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác, do \(F\left( x \right)\) và \(G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) nên ta có \(G\left( x \right) - F\left( x \right) = C\) (không đổi) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(G\left( x \right) - F\left( x \right) = 2m > 0\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Khi đó ta có \(S = \int\limits_0^4 {\left| {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {{\rm{2}}m.{\rm{d}}x} } = 2mx\left| {\mathop {}\limits_0^4 } \right. = 8m\).

Theo đề ta có \(8m = 8 \Leftrightarrow m = 1\).