Biết dx/ căn bậc hai x + 2025 + căn bậc hai x + 2024 = a ( x + 2025 ) căn bậc hai x + 2025 + b

10/22

Biết \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x + 2025} + \sqrt {x + 2024} }}} = a\left( {x + 2025} \right)\sqrt {x + 2025} + b\left( {x + 2024} \right)\sqrt {x + 2024} + C\) với \(a,b\) là các số hữu tỉ và \(C\) là hằng số bất kì. Tính \(S = 2025a + 3b.\)

\(1348\).

\(4049\).

\( - 1348\).

\(1352\).

Giải thích

Chọn A

Ta có \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x + 2025} + \sqrt {x + 2024} }}} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2025} - \sqrt {x + 2024} }}{{x + 2025 - \left( {x + 2024} \right)}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {\sqrt {x + 2025} - \sqrt {x + 2024} } \right){\rm{d}}x} \)

\( = \frac{2}{3}\left( {x + 2025} \right)\sqrt {x + 2025} - \frac{2}{3}\left( {x + 2024} \right)\sqrt {x + 2024} + C.\)

Suy ra \(a = \frac{2}{3},b = - \frac{2}{3}.\) Vậy \(S = 2025a + 3b = 1348.\)