Biết đường thẳng y=(3m-1)x+6m+3 cắt đồ thị hàm số y=x^3-3x^2+1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm

23/50

Biết đường thẳng y=(3m−1)x+6m+3 cắt đồ thị hàm số y=x3−3x2+1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

(1;32)

(0;1)

(32;2)

(−1;0)

Giải thích

Phương pháp giải:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) là số nghiệm của phương trình f(x)=g(x)(*)

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình (*).

Tìm m để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt.

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm A,B,C. Khi đó có 1 điểm là trung điểm của đoạn thẳng gồm 2 điểm còn lại.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=(3m−1)x+6m+3 và đồ thị hàm số y=x3−3x2+1 là:

(3m−1)x+6m+3=x3−3x2+1

⇔x3−3x2+1−(3m−1)x−6m−3=0

⇔x3−3x2−(3m−1)x−6m−2=0(*)

Gọi x1,x2,x3 là ba nghiệm phân biệt của phương trình (*).

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: {x1+x2+x3=3(1)x1x2+x2x3+x3x1=−(3m−1)(2)x1x2x3=6m+2(3)

Khi đó ta có tọa độ ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là: A(x1;y1),B(x2;y2) và C(x3;y3).

Giả sử B là điểm cách đều A,C ⇒B là trung điểm của AC ⇒x1+x3=2x2.

⇒(1)⇔3x2=3⇔x2=1

Thay x2=1 vào phương trình (*) ta được:

(*)⇔1−3−(3m−1)−6m−2=0⇔−4−3m+1−6m=0⇔−9m=3⇔m=−13

Với m=−13 ta được: (*)⇔x3−3x2+2x=0 ⇔x(x2−3x+2)=0 ⇔[x=0x=1x=2

⇒m=−13 thỏa mãn bài toán.

⇒m∈(−1;0).

Đáp án D