Biết đường thẳng y = a x + b đi qua hai điểm M ( 3 ; − 5 ) và N ( 1 ; 2 ) . Tính tổng bình phương của a và b .

Hướng dẫn giải

Đáp số: \(\frac{{85}}{2}.\)

Để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) thì thay \(x = 3,\,\,y = - 5\) vào hàm số \(y = ax + b\), ta được: \( - 5 = 3a + b\).

Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {1;\,\,2} \right)\), ta có: \(2 = a + b\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(2a = - 7,\) suy ra \(a = - \frac{7}{2}\).

Thay \(a = - \frac{7}{2}\) vào phương trình \(a + b = 2\), ta được:

\( - \frac{7}{2} + b = 2,\) suy ra \(b = \frac{{11}}{2}\).

Vậy, tổng bình phương của \(a\) và \(b\) là \({a^2} + {b^2} = {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} = \frac{{85}}{2}.\)