Biết đường thẳng y = a x + b đi qua hai điểm A ( 2 ; − 2 ) và B ( − 1 ; 3 ) . Tính lập phương của tổng a và b .

Hướng dẫn giải

Đáp số: \( - \frac{1}{{27}}.\)

Do đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 2} \right)\) nên \(x = 2\) và \(y = - 2\) thỏa mãn hàm số \(y = ax + b,\) tức là \( - 2 = a \cdot 2 + b\) hay \(2a + b = - 2\).

Do đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( { - 1;3} \right)\) nên \(x = - 1\) và \(y = 3\) thỏa mãn hàm số \(y = ax + b,\) tức là \(3 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b\) hay \( - a + b = 3\).

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - a + b = 3\end{array} \right.\].

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\(3a = - 5\), suy ra \(a = - \frac{5}{3}\).

Thay \(a = - \frac{5}{3}\) vào phương trình \( - a + b = 3\), ta được:

\( - \left( { - \frac{5}{3}} \right) + b = 3\), suy ra \(b = \frac{4}{3}\).

Như vậy \(a = \frac{{ - 5}}{3}\); \(b = \frac{4}{3}\) là giá trị cần tìm.

Ta có \({\left( {a + b} \right)^3} = {\left( { - \frac{5}{3} + \frac{4}{3}} \right)^3} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} = - \frac{1}{{27}}.\)

Vậy lập phương của tổng \(a\) và \(b\) bằng \( - \frac{1}{{27}}.\)

Chú ý: Bài toán này không cần trình bày chi tiết lời giải nên ta có thể sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 2\\ - a + b = 3\end{array} \right.\].