Biết đồ thị hàm số y = x^3 + bx^2 + cx + d đi qua điểm (2; −20) và có điểm cực đại (−1; 7). Giá trị biểu thức P = b − 2c + d bằng bao nhiêu?

Tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 2bx + c\).

Dựa vào dữ kiện bài toán, ta lập hệ phương trình gồm 3 phương trình:

Đồ thị đi qua điểm cực đại \(\left( { - 1;7} \right) \Rightarrow {\left( { - 1} \right)^3} + b \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + c \cdot \left( { - 1} \right) + d = 7 \Leftrightarrow b - c + d = 8\) (1).

Điểm \(x = - 1\) là điểm cực trị nên \(y'\left( { - 1} \right) = 0 \Rightarrow 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 2b \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow - 2b + c = - 3\) (2).

Đồ thị đi qua điểm \(\left( {2; - 20} \right) \Rightarrow {2^3} + b \cdot {2^2} + c \cdot 2 + d = - 20 \Leftrightarrow 4b + 2c + d = - 28\) (3).

Lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (1) theo vế:

\(\left( {4b + 2c + d} \right) - \left( {b - c + d} \right) = - 28 - 8 \Rightarrow 3b + 3c = - 36 \Leftrightarrow b + c = - 12\).

Kết hợp với phương trình (2) tạo thành hệ 2 ẩn ta tính được \(b = - 3\) và \(c = - 9\).

Thay \(b = - 3\) và \(c = - 9\) vào phương trình (1): \( - 3 - \left( { - 9} \right) + d = 8 \Rightarrow d = 2\).

Hàm số hoàn chỉnh là: \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\).

Giá trị biểu thức \(P = b - 2c + d = - 3 - 2 \cdot \left( { - 9} \right) + 2 = 17\).

Đáp số: 17.