Biết đồ thị hàm số y = {x^3} - 3m{x^2} + 3{m^3}

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \({{\rm{\Delta }}_{f'\left( x \right)}} > 0\) (hai điểm cực trị là hai nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai \(f'\left( x \right) = 0\)).

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3{m^3}\)

\(y' = 3{x^2} - 6mx\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 2m\).

Điều kiện để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là \(2m \ne 0 \Rightarrow m \ne 0\).

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;3{m^3}} \right)\) và \(B\left( {2m; - {m^3}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {0;3{m^3}} \right);\overrightarrow {OB} = \left( {2m; - {m^3}} \right)\)

Diện tích tam giác \(OAB\) là \(\frac{1}{2}\left| { - 6{m^4}} \right| = 3{m^4}\).

Theo đề ta có \(3{m^4} = 48 \Leftrightarrow m = 2 \vee m = - 2\). Do đó, tích các giá trị của tham số \(m\) cần tìm là: \(2.\left( { - 2} \right) = - 4\).