Biết điểm M thuộc P sao cho biểu thức MA^2 - 2MB^2 đạt giá trị lớn nhất. Tính OM.

37/235

Cho các điểm \[A\left( {0;4; - 2} \right){\rm{, }}B\left( {1;2; - 1} \right)\]và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\]. Biết điểm M thuộc \(\left( P \right)\) sao cho biểu thức \[M{A^2} - 2M{B^2}\]đạt giá trị lớn nhất. Tính OM.

\[OM = \sqrt 6 \].

\[OM = \sqrt 3 \].

\[OM = \sqrt 2 \].

\[OM = 2\].

Giải thích

Gọi I là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {2;0;0} \right)\].

Khi đó \[M{A^2} - 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} - 2I{B^2}\]

\[ = - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\]lớn nhất \[ \Leftrightarrow MI\] nhỏ nhất \[ \Leftrightarrow \]M là hình chiếu của I trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó phương trình MI là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = t\\z = t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2 + t;t;t} \right)\].

Cho\[M \in \left( P \right) \Rightarrow 2 + t + t + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M\left( {1; - 1; - 1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt 3 \] . Chọn B.