Biết công thức khai triển nhị thức Newton bậc n của tổng ( a + b ^ n = C k n ⋅ a ^(n − k) ⋅ b^k . Khi đó để trong khai triển ( x + 1 ) n có hai hệ số liên tiếp nhau có tỷ số là 7/15 thì

89/94

Điền một số nguyên dương thích hợp vào chỗ trống.
Biết công thức khai triển nhị thức Newton bậc n của tổng \({(a + b)^n} = C_n^k \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\). Khi đó để trong khai triển \({(x + 1)^n}\) có hai hệ số liên tiếp nhau có tỷ số là \(\frac{7}{{15}}\) thì số nguyên dương \(n\) bé nhất là ___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là: 21

Phương pháp giải

Áp dụng khai triển Newton và tìm hệ số của 2 số hạng liên tiếp lập phương trình tìm k từ đó tìm n .

Giải chi tiết

Ta có: \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1 \cdot x + C_n^2 \cdot {x^2} + \ldots + C_n^{n - 1} \cdot {x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}\)
Số hạng thứ \(k\) và \(k + 1\) theo khai triển trên là \(C_n^{k - 1},C_n^k\) với \(1 \le k \le n;k,n \in \mathbb{N}\)
\(\frac{{C_n^{k - 1}}}{{C_n^k}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow \frac{k}{{n - k + 1}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow 15k = 7\left( {n - k + 1} \right) \Leftrightarrow 22k = 7\left( {n + 1} \right)\).
Do \(\left( {22;7} \right) = 1\) nên \(n + 1\) chia hết cho 22 . Vậy \(n = 22m - 1,m \in \mathbb{N}\)
Vậy số nguyên dương \(n\) bé nhất thỏa mãn đề bài là 21

Đáp án cần điền là: 21