Biết có hai giá trị

Đáp án đúng là "255"

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi - et.

Lời giải

Phương trình \(m\left( {{x^2} - x} \right) + x + 5 = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} = {{(1 - m)}^2} - 4.m.5 > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{{m^2} - 22m + 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 11 + 2\sqrt {30} }\\{m < 11 - 2\sqrt {30} }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\) (*)

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{m - 1}}{m}}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{5}{m}}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{4}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{4}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{4}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{{x_1}{x_2}}} - 2 = \frac{4}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{14}}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{{m - 1}}{m}} \right)}^2}}}{{\frac{5}{m}}} = \frac{{14}}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{m^2} - 2m + 1}}{{{m^2}}} = \frac{{14}}{m}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 = 14m\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 16m + 1 = 0\) (1)

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({m_1},{m_2}\); theo Vi -et ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m_1} + {m_2} = 16}\\{{m_1}.{m_2} = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} + \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}} = \frac{{{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}^2}}}{{{m_1}{m_2}}} - 2 = \frac{{{{16}^2}}}{1} - 2 = 255\)