Biết chiều rộng tấm kính bằng chiều rộng lối đi và có giá trị thuộc đoạn [2;3] . Giá trị lớn nhất của thể tích không gian bên trong lối đi là:;]

27/235

Biết chiều rộng tấm kính bằng chiều rộng lối đi và có giá trị thuộc đoạn \(\left[ {2;3} \right]\). Giá trị lớn nhất của thể tích không gian bên trong lối đi là:

\(45\sqrt 3 \,\,{m^3}\).

\(15\sqrt 3 {\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

\(20\sqrt 3 {\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

\(60\sqrt 3 {\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Diện tích tam giác đều có cạnh bằng \(x\) là \(S = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Lời giải

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều rộng lối đi. Ta có \(x \in \left[ {2;3} \right]\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích không gian bên trong lối đi là \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.h = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}.20 = 5\sqrt 3 {x^2}\).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = 5\sqrt 3 {x^2}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).

Ta có hàm \(V\left( x \right) = 5\sqrt 3 {x^2}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\).

\(V'\left( x \right) = 10\sqrt 3 x > 0,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\) nên \(V\left( x \right)\) đồng biến trên [2; 3\(]\). Do đó,\(\mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ {2;3} \right]} V\left( x \right) = V\left( 3 \right) = 45\sqrt 3 \)

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích không gian bên trong lối đi là \(45\sqrt 3 {m^3}\).