Biết bất phương trình {\log _2}{3^x} - 3} log _8}( {{3^x}{2^{ - 2}} - {3}/ 4

8/235

Biết bất phương trình \({\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right){\log _8}\left( {{3^x}{2^{ - 2}} - \frac{3}{4}} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn [a ; b]. Giá trị biểu thức \(a + b\) bằng

\(1 + {\log _3}77\)

\({\log _3}\frac{{77}}{2}\).

\( - 2 + {\log _2}\frac{{77}}{2}\).

\( - 1 + {\log _2}77\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t = {\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right)\)

Lời giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} - 3 > 0}\\{{3^{x - 2}} - \frac{3}{4} > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.\).

\({\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right){\log _8}\left( {{3^x}{2^{ - 2}} - \frac{3}{4}} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right).\frac{1}{3}\left[ {{{\log }_2}\left( {{3^x} - 3} \right) - 2} \right] - 1 \le 0\)

Đặt \(t = {\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{3}t(t - 2) - 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{t^2} - \frac{2}{3}t - 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow - 1 \le t \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le {\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right) \le 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{7}{2} \le {3^x} \le 11 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{7}{2} \le x \le {\log _3}11\)

Suy ra tập nghiệm là \(S = \left[ {{{\log }_3}\frac{7}{2};{{\log }_3}11} \right] \Rightarrow a + b = {\log _3}\frac{{77}}{2}\).