Biết bất phương trình log 2 ( 3^x - 3 ) log 8 ( 3^x 2^ -2 -3/4 ) bé hơn bằng 1

36/235

Biết bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}\left( {{3^x}{2^{ - 2}} - \frac{3}{4}} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn [a;b]. Giá trị biểu thức \(a + b\) bằng

\(1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}77\).

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{77}}{2}\).

\( - 2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{77}}{2}\).

\( - 1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}77\).

Giải thích

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right)\)

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} - 3 > 0}\\{{3^{x - 2}} - \frac{3}{4} > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 1\).
\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}\left( {{3^x}{2^{ - 2}} - \frac{3}{4}} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right) \cdot \frac{1}{3}\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right) - 2} \right] - 1 \le 0\)Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right)\)
Ta có:
\(\frac{1}{3}t\left( {t - 2} \right) - 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{t^2} - \frac{2}{3}t - 1 \le 0\)\( \Leftrightarrow - 1 \le t \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^x} - 3} \right) \le 3\)\( \Leftrightarrow \frac{7}{9} \le {3^x} \le 11 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{7}{9} \le x \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}11\)

Suy ra tập nghiệm là \(S = \left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{7}{2};{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}11} \right] \Rightarrow a + b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{77}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B