Biết a = log 30 của 10, b = log 30 của 150 và log 2000 của 15000 = (x1)a + (y1)b + (z1)/(x2)a + (y2)b + z2) với (x1);(y1);(z1);{x2;{y2);(z2) là các số nguyên, tính S = (x1)/(x2)

4/35

Biết \(a = {\log _{30}}10\), \(b = {\log _{30}}150\) và \({\log _{2000}}15000 = \frac{{{x_1}a + {y_1}b + {z_1}}}{{{x_2}a + {y_2}b + {z_2}}}\) với \({x_1};{y_1};{z_1};{x_2};{y_2};{z_2}\) là các số nguyên, tính \(S = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\).

\(S = \frac{1}{2}\).

\(S = 2\).

\(S = \frac{2}{3}\).

\(S = 1\).

Giải thích

Lời giải

Ta có \({\log _{2000}}15000 = \frac{{{{\log }_{30}}15000}}{{{{\log }_{30}}2000}} = \frac{{{{\log }_{30}}150 + 2{{\log }_{30}}10}}{{{{\log }_{30}}2 + 3{{\log }_{30}}10}}\) \(\left( 1 \right)\).

Ta có \(a = {\log _{30}}10 = {\log _{30}}5 + {\log _{30}}2 \Rightarrow {\log _{30}}2 = a - {\log _{30}}5\) \(\left( 2 \right)\).

\(b = {\log _{30}}150 = 1 + {\log _{30}}5 \Rightarrow {\log _{30}}5 = b - 1\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được \({\log _{30}}2 = a - b + 1\)

Khi đó \({\log _{2000}}1500 = \frac{{b + 2a}}{{a - b + 1 + 3a}} = \frac{{2a + b}}{{4a - b + 1}}\).

Suy ra \(S = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Chọn A.