Biết 8p + 1 là số nguyên tố (p là số nguyên tố và p > 3), chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số.

Lời giải:

Vì p là số nguyên tố và p > 3 suy ra p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.

Nếu p = 3k + 1 suy ra 8p + 1 = 8(3k + 1) + 1 = 24k + 8 + 1 = 24k + 9 = 3(8k + 3) chia hết cho 3.

Suy ra 8p + 1 là hợp số. Do đó trường hợp này không thỏa mãn.

Chứng tỏ p ≠ 3k + 1 nên p = 3k + 2.

Với p = 3k + 2 suy ra 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 8 + 1 = 12k + 9 = 3(4k + 3) chia hết cho 3.

Suy ra 4p + 1 là hợp số.

Vậy 4p + 1 là hợp số.