Biết {5^{2a + 1}}{. 4^{a + 3}có 2025 chữ số. Tìm giá trị a nguyên?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Số chữ số của một số tự nhiên \(N\) được tính theo công thức: \(\left[ {{\rm{log}}N} \right] + 1\).

Lời giải

Vì số \({5^{2a + 1}}{.4^{a + 3}}\) có 2025 chữ số nên:

\(\left[ {{\rm{log}}\left( {{5^{2a + 1}}{{.4}^{a + 3}}} \right)} \right] + 1 = 2025\)

\( \Leftrightarrow \left[ {{\rm{log}}\left( {{5^{2a + 1}}{{.4}^{a + 3}}} \right)} \right] = 2024\)

\( \Rightarrow 2024 \le {\rm{log}}\left( {{5^{2a + 1}}{{.4}^{a + 3}}} \right) < 2025\)

\( \Leftrightarrow 2024 \le {\rm{log}}\left( {{{100}^a}.320} \right) < 2025\)

\( \Leftrightarrow 2024 \le 2a + {\rm{log}}320 < 2025\)

\( \Rightarrow 1010,7 \le a < 1011,2\)

Vậy a = 101.1