Biết π/2 ∫ π/3 ( 2 sin x + 3 cos x + x ) d x = a + b √ 3 2 + 5 π 2 c với ( a , b , c ∈ Z ) . Khi đó giá trị của P = a + 2 b + 3 c là

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( { - 2\cos x + 3\sin x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\]

\[ = 3 + \frac{{{\pi ^2}}}{8} + 1 - \frac{{3\sqrt 3 }}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{18}} = \frac{{8 - 3\sqrt 3 }}{2} - \frac{{5{\pi ^2}}}{{72}}\].

Do đó, \[a = 8,b = - 3,c = 72.\]

Vậy \[P = a + 2b + 3c = 8 + 2.\left( { - 3} \right) + 3.72 = 218.\]